本記事では、波形を正しく見せるために外せないポイントを、Q&A形式でわかりやすく解説します。これらのポイントを外せば、オシロスコープは正しい波形を表示できません。誤差が大きくなります。
サンプリング・オシロスコープ と呼ばれるオシロスコープは特殊な波形取込み手法により、100GHzもの超々広帯域性能を持ちますし、通常のオシロスコープでもDSP（デジタル信号処理）を用いて、周波数特性の補正をするタイプは1GHzを優に超え20GHzまでもの超広帯域性能を持ちます。これらのオシロスコープはここでは論じません。本記事では約1GHzくらいの周波数帯域を持つオシロスコープに限ってお話しします。なお、特別の断りがない場合、「オシロスコープ」は「デジタル・オシロスコープ」を指すものとします。
周波数帯域に関する誤差の原因と考察
まずは、周波数帯域に関する誤差の原因と考察から始めていきます。
ある周波数のサイン波を、同じ周波数帯域のオシロスコープで測れる？
オシロスコープの垂直軸に関する最も大きなスペックは「周波数帯域」です。カタログばかりか、実機のフロント・パネル上にもしっかりと明示されています。100MHzとか1GHzとかオシロスコープの性能が示されています。さて、問題です。
問題： 最高周波数帯域100MHzをうたうオシロスコープで繰返し周波数100MHz、振幅1Vのサイン波を観測すると、
- ①振幅は1Vより大きく見える
- ②振幅はちょうど1Vに見える
- ③振幅は1Vより小さく見える
答えは③です。振幅は1Vより小さく見えます。理由は周波数帯域の定義の仕方にあります。エネルギーが半分、振幅が70.7％に低下した周波数をもって周波数帯域と定義します。つまり、周波数帯域と定められた周波数においては振幅が減少しているのです。よって、周波数帯域が100MHzぴったりのオシロスコープで観測すると、1Vの100MHzサイン波は0.707Vにしか見えません。（図1）
さて、また問題です。
問題： 最高周波数帯域100MHzをスペックでうたうオシロスコープで繰返し周波数100MHzのサイン波を観測すると、
- ①振幅は70.7％より大きく見える
- ②振幅はちょうど70.7％に見える
- ③振幅は70.7％より小さく見える
答えは①です。サイン波の振幅は70.7％より大きく見えます。なぜならオシロスコープのスペックにおいて、周波数帯域は○○Hz「以上」と規定されており、100MHzのオシロスコープは実際100MHz以上あるからです。つまり、周波数帯域は余裕を持たせてスペックするので、振幅は70.7％より小さく見えることはありませんし、ちょうどピッタリでもなく、70.7％より少し大きめに見えます。それでも約30％もの大きな誤差となります。
振幅による誤差を小さくする方法
もっと小さな誤差で済ませるには、もっと広い周波数帯域を持つオシロスコープを使います。約1GHzくらいまでのオシロスコープの高域減衰特性はガウス曲線に近似していますので、この曲線をなぞると、もっと誤差の小さな結果を得るための周波数帯域を推測することができます。
100MHzのオシロスコープの例で見ると、30MHzくらいまでの周波数の測定にとどめれば、約3％の誤差で測定できることになります。これを「サイン波の3倍の法則」といいます。言い換えると、3％の誤差にするには3倍広帯域のオシロスコープを使用すればよいことが分かります。（図2）
パルス波形の形はどう見える？
問題です。
問題： 最高周波数帯域20MHzをうたうオシロスコープで繰り返し周波数10MHzのパルス波を観測すると、
- ①波形はきれいなパルス波に見える
- ②波形は丸まった台形波に見える
- ③波形はきれいなサイン波に見える
答えは②です。波形は台形波に見えます。パルス波の形状は、3次5次7次…と無数の奇数高次の高調波を含むことにより、形成されています。（図3）
ところが、高次の50MH（z5次）、70MH（z7次）、…は周波数帯域20MHzのオシロスコープでは減衰が激しく、パルス形状の形成が再現できません。結果、オシロスコープが表示する波形は、パルス波にはとても見えません。せいぜい3次高調波（30MHz）がわずかに通過し、波形を辛うじて台形にとどめるのが精いっぱいです。
図4では、250MHzのオシロスコープで取り込んだ波形を細い黒色で、20MHz帯域制限機能により、20MHzのオシロスコープとして取り込んだ波形は太い青色で表現されています。青色の波形は立ち上がり／立ち下がり部が斜めに表現され角も丸まっています。
パルスの繰返し周波数と周波数帯域の関係
問題です。
問題： パルス波形を正確に再現するために必要なオシロスコープの周波数帯域とパルスの繰り返し周波数との間には、
- ①一定の法則がある
- ②法則はない
答えは②です。パルス波は、その繰り返し周波数が5倍ほどの広帯域のオシロスコープで見ればイイと聞いたことがあるかもしれません。5倍の高調波が再現できれば、なんとかパルス波に見えるということからきた経験則です。
実際のところはどうでしょうか？4MHzのパルス波を20MHzと250MHzのオシロスコープで見たのが図5です。5倍である20MHzの周波数帯域を持つオシロスコープ（太い青色）では、立ち上がり／立ち下がり部分も鈍ります。（図5）
測定した立ち上がり時間も大きな誤差を持ちます。よって、「繰り返し周波数の5倍」ではダメなことが分かります。細い黒色の波形は、パルス波の立ち上がり時間に対して「4倍」以上の高速立ち上がりを持つオシロスコープで見た波形です。立ち上がり部の急峻な変化が正確に表現されていることが分かります。法則は、「周波数とは何のかかわりもなく、立ち上がりの4倍」です。4倍の根拠は次の説明を見てください。
立ち上がり時間は正確？
波形がサイン波の場合を除いて、パルス波であれ台形波であれ、一番高速の変化をする部分に注目しなければなりません。最も高速に変化する部分に最も高い周波数成分が含まれているからです。正しい波形の表示（再現）には、一番高い周波数成分を再現できるかどうかがキーになります。
例えば、周波数1kHzのパルス波形において、1kHzの周波数に注目する必要はほとんどありません。注目すべきなのは、最も高速に変化する、パルスの立ち上がり／立ち下がり部です。さて、問題です。
問題： 立ち上がり時間1nsをうたうオシロスコープで立ち上がり時間1nsを持つパルス波を観測すると、
- ①立ち上がり時間は1nsより遅く見える
- ②立ち上がり時間はちょうど1nsに見える
- ③立ち上がり時間は1nsより速く見える
答えは①です。立ち上がり時間は1nsより遅く見えます。オシロスコープの立ち上がり時間の性能がパルス波形の立ち上がり時間に影響を与えるからです。
約1GHzくらいまでのオシロスコープは高域減衰特性がガウス曲線に近似しており、この場合のオシロスコープ固有の立ち上がり時間と被測定パルス波の立ち上がり時間との関係は図6の式で表されます。例えば、1nsと1nsの組み合わせでは1.4nsくらいに見えます。約40％もの誤差になるわけです。（図6）
立ち上がり時間による誤差を小さくする方法
これをもっと小さな誤差で済ませるには、もっと速い立ち上がり時間を持つオシロスコープを使います。図6の式に代入すれば、もっと誤差の小さな結果を得るために必要なオシロスコープの立ち上がり時間が分かります。「立ち上り時間の4倍の法則」があり、3％の誤差に収めるなら4倍高速のオシロスコープを使用すればよいことが分かります。（図7）
立ち上がり部が高速変化しており、0から1へ変化するのに1nsである場合を例に取ると、「立ち上り時間の4倍の法則」に従って、4倍高速の250psより速い立ち上がり時間をスペックしているオシロスコープを選択すればいいのです。
立ち上がり時間と周波数帯域を結ぶ定数0.35
立ち上がり時間をスペックしていないオシロスコープの場合は、以下の計算式を適用することにより、周波数帯域から立ち上がり時間を計算できます。
＜0.35=立ち上がり時間×周波数帯域＞
この式により、上記の立ち上がり250psのオシロスコープは、1.4GHzの周波数帯域を持つオシロスコープであることが分かります。
真の立ち上がり時間
オシロスコープの性能が高く、オシロスコープの立ち上がり時間Toが、測定される真値Tsより4倍以上高速なら画面に表示された測定値Tは誤差が少ないのですが、オシロスコープの性能がそれほど高くない場合、大きな誤差を含んだTが表示されてしまいます。
そこで前述の等式、
により、真値Tsを計算により求める手法があります。つまりToが分かれば、画面に表示された測定値TからToの影響を除き、Tsを求めることができます。問題です。
問題： オシロスコープの立ち上がり時間スペック値Toから計算したTsはどうなる？
- ①立ち上がり時間は1nsより遅く見える
- ②立ち上がり時間はちょうど1nsに見える
- ③立ち上がり時間は1nsより速く見える
答えは③です。オシロスコープの立ち上がり時間Toは必ず○○秒以下とスペックされています。つまり、オシロスコープの立ち上がり時間Toは「スペック値イコールではなく、本当はスペック値より小さい」です。よってオシロスコープの立ち上がり時間そのものを代入して計算すると、結果Tsは実際より小さめに計算されてしまいます。
言い換えると、真のTsは計算値よりちょっと大きめだと考える必要があります。可能なら、超高速パルス・ジェネレータを使用して測定した実際のオシロスコープの実力値Toを計算に用いれば、完ぺきです。2つ目の注意点は、Ts<<Toでないこと。オシロスコープの性能があまりにも低く、Toが大き過ぎては、計算結果をToがほとんど支配することになり、Tsの不確かさが巨大になります。
サンプル・レートに関する誤差の原因と考察
次に、サンプル・レートに関する誤差の原因について、考察していきます。
サンプル・レートが波形を変える（デジタル･オシロスコープ独自の注意）
デジタル・オシロスコープの動作は、まず波形をデジタイズして、デジタル点を得ることから始まります。波形を一定間隔でデジタイズする過程をサンプリングと呼び、サンプリングするスピードをサンプル・レート（単位はS/s：サンプル・パー・セック）と呼びます。
デジタル・オシロスコープにとって、波形を正しく再現できるかどうかは、前回の周波数帯域や立ち上がり時間に加え、サンプル･レートによっても大きく左右されます。（図1）
サンプル･レートでサイン波が変形
ここで問題です。
問題： 観測したい波形の繰り返し周波数より、
- ①サンプル・レートが低いと、単発取込みにおいて致命的な問題を起こす
- ②サンプル・レートが低くても、単発取込みにおいて致命的な問題を起こさない
答えは①です。サンプリング対象の波形の繰り返し周波数に対して、サンプル･レートが高く（速く）なくてはなりません（「ナイキストの定理」によると、2倍より高速のサンプリングが必要です）。この条件がかなえられなければ、エイリアシングと呼ばれる現象が起きる場合があり、その波形はまったく正しくありません。オシロスコープがあり得ない波形を作ってしまうのです。（図2）
エイリアシングの例を出すまでもなく、オシロスコープが波形を点で表すことを考えれば、サンプル点は多いほど波形を忠実に再現できることが容易に想像できると思います。サイン波の周期より5倍から10倍速いサンプル・レートがあれば、サイン波の再現において良い結果を生みます。つまり100MHzのサイン波を観測するには、最高サンプル･レート500MS/sから1GS/sのサンプル・レートを持つオシロスコープが好ましいことになります。
図3、4はサンプル・レートが2.5倍のときと5倍のときの例です。
2.5倍のときは一定振幅であるはずのサイン波がオシロスコープの画面においては変動して見えます。理論では2倍以上のサンプル・レートがあり、非常に多くの周期が取り込めれば、サイン波が正確に再現できることになりますが、実際にはオシロスコープのメモリに取り込まれたサイン波の数も有限です。これは、5倍から10倍速いサンプル・レートの必要性が実感できる波形です。
特殊な手法
さて、問題です。
問題： 観測したい波形の繰り返し周波数より、
- ①サンプル・レートが低いと、いかなる場合も救いようがない
- ②サンプル・レートが低くても、繰り返し波形ならば、救える場合がある
答えは②です。オシロスコープの中にはサンプル・レートが5倍どころか、逆に周波数帯域より低いオシロスコープもあります。周波数帯域より遅いサンプル・レートでは波形の再現はできないと思えるかもしれませんが、これはキーデバイス（A/Dコンバータ）の性能不足を特殊な取込み手法でカバーしたオシロスコープです。